Terra Mathematica

Images des mathématiques, les Tambours des astres rendent tangible des phénomènes “combinatoires”. La combinatoire est un domaine des mathématiques qui étudie et dénombre les combinaisons d’éléments. Ces combinaisons peuvent être un digicode, tirage du loto, les configurations d’un système physique, un jeu d’informations… On les écrit à l’aide de nombres, de lettres, de couleurs ou de figures… L’étude des combinaisons permet en particulier d’évaluer des probabilités et de mieux comprendre les mécaniques sous-jacentes à de nombreux phénomènes, tels qu’en physique statistique, physique des particules, cristallographie, chimie, économie, théorie des jeux etc… La combinatoire est un des plus anciens sujet mathématique de l’humanité et est à la base de l’écriture même des nombres. Elle est aussi un support incontournable pour établir les fondements logiques même des mathématiques et de la théorie des ensembles. Elle est omniprésente et diluée à tous les niveaux : logique, écriture, calcul, démonstrations, symétries…

Entre information et espace, les combinaisons sont l’expression même de l’idée d’ordonnancement et c’est pourquoi elles sont au coeur des mathématiques.

Il y a maintes manières de combiner entre eux des éléments et il est possible de distinguer différents type de combinaisons. Il y a, par exemple, des combinaisons dans lesquelles chacun des éléments peut apparaître plusieurs fois ou pas du tout (digicode, mains de poker, gaz de bosons, nombre, mot… – Par ex. : ABBFD). Il y a celles dont les éléments ne peuvent apparaître qu’une seule fois ou pas du tout (tirage du loto, gaz de fermions… – Par ex. : BAEDF). Enfin il y a celles dont les éléments doivent apparaître une et une seule fois (pièces du jeu du Taquin, équipes d’un classement sportif, passagers d’un avion… – Par ex. : CBADFE). Dans ces combinaisons-cis, seul l’ordre des éléments est déterminant. On les appelle «permutation», car il suffit de permuter les éléments entre eux pour obtenir une autre combinaison.

Une permutation est donc un type particulier de combinaison qui se compose de tous les éléments disponibles, mais chacun en un seul exemplaire. Il y a des permutations à 2 éléments (AB, BC), des permutations à 3 éléments (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), à 4 éléments (ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC…), 5 éléments (ABCDE, ABCED…), 6 éléments, 7 éléments etc. Plus le nombre d’éléments est important plus le nombre de permutations est grand. Par exemple, avec 6 éléments, il existe 720 permutations différentes, contre 120 seulement avec 5 éléments.

Les éléments sont comme des briques de bases universelles dont la combinaison permet l’engendrement d’entités nouvelles et nombreuses.

Transformer les permutations

Lorsque les permutations sont traitées mathématiquement, on les écrit à l’aide de nombres. ABCDEF s’écrit alors 123456 et il devient possible d’effectuer des opérations de transformation.

Il existe en effet des outils mathématiques dont l’action est de modifier une permutation en une autre, en déplaçant les éléments qui la compose d’une manière bien déterminée. Ainsi, par exemple, sous l’effet d’une certaine opération, la permutation n°0 (123456) pourra devenir, la permutation n°489 (513426). Les permutations 0 et 489 se trouvent ainsi associées par cette opération de transformation. De telles opérations mathématiques reviennent finalement à coupler les permutations 2 à 2. On pourra donc représenter visuellement une transformation en reliant les permutations 2 à 2 selon la transformation considérée. On obtient alors des diagrammes appelés MUTAGRAMMES. 

Les combinaisons mutent les unes en les autres et il se tissent entre elles des réseaux de liens, dont les mutagrammes sont les cartes. Les Tambours des astres, qui mettent en forme ces mutagrammes, projettent ces transformations dans la réalité tangible. Ils nous donnent à voir en une seule image un processus transformatif affectant d’emblée l’espace mathématique des permutations. Ils sont une image de la mutation, une toile cosmique qui se dessine, de mutation en mutation, ligne après ligne, cycle après cycle… Nous sommes au pays de la Combinatoire, province ancestrale du vaste empire Mathématique.

Avec 6 éléments, il existe 720 permutations différentes et autant de fils tendus sur chaque Tambour. Et – car les mathématiques sont parfois très équanimes – il existe également 720 manières de transformer chaque permutations, et autant de Tambours à tisser. 

Chaque mutagramme et chaque tambour possèdent un numéro de 1 à 720, qui est celui de la transformation qu’ils représentent.